Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + i 1 - i 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + i \\ 1 - i \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

\sqrt{{| 1 + i |}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{| 1 + i |}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez la formule

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

\sqrt{{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\sqrt{{\sqrt{1 + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1 + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\sqrt{{\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

2

$2$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ comme

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.5.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2^{1} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2 + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.6

Utilisez la formule

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{2 + {\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{2 + {\sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.8

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{2 + {\sqrt{1 + 1}}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\sqrt{2 + {\sqrt{2}}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.10

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 2.10.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}$

Étape 2.10.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Étape 2.10.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Étape 2.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 + 2^{1} + 1^{2}}$

Étape 2.10.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2 + 2 + 1^{2}}$

Étape 2.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{2 + 2 + 1}$

Étape 2.12

Additionnez

$2$ et

$2$ .

$\sqrt{4 + 1}$

Étape 2.13

Additionnez

$4$ et

$1$ .

$\sqrt{5}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{5}$

Forme décimale :

$2.23606797 \dots$